读论文：《Algebraic Subtyping》 -- Dolan
Intro: 代数先于语法（原文 第一章）
类型为什么和代数有关系呢？因为如果引入了子类型这样的特性之后，类型之间就会出现运算，最简单的运算就是判断类型的相等。其次就是引入子类型关系之后，判断类型之间是否兼容（判断子类型关系，一个类型是否是另外一个类型的子类型）。这就相当于抽象代数里面的成员和运算所构成的比如群、环、域之类的东西。通常设计一个语言的时候，可能会优先去找出最简单的描述类型的语法，然后再去尝试基于它构建一个代数类型。比如说我们在引入子类型这个特性的时候。类型通常就会构成一个lattice格。
然而，随着各种各样的类型特性被引入，比如说子类型特性。结构体类型，函数类型。这些类型的复杂交互，甚至可能会导致最终的类型运算在一些复杂的情况不好定义，甚至出现矛盾。在一段时间以内。研究者们可能想了很久，也不知道如何解决这种矛盾。
因此，Dolan提出，首先要找到最简单的兼容这些类型运算的代数系统，然后再基于该类型系统，设计描述类型的语法。（让我想起了物理学里面那种感觉：怎么测光速都不变的时候反过来把光速不变作为基础。）
矛盾的情况 （原文 1.4 Failures of extensibility）
一个最简单的情况是。我们知道通常的类型系统里面有bool类型，函数类型以及结构体类型。但是他们这几个类型之间是不相交的，比如说一个类型不可能同时是布尔类型，又是函数类型。因此这些类型之间是独立的格，而不能够形成一个更大的格。一种非常简单的想法就是引入新的top类型和bottom类型。让它作为这些类型的公共父类型和公共子类型。然而这样形成的整体的格运算发现在实际中会出现严重的问题，甚至无法得出一些非常简单的子类型属性。
最简单的例子就是，如果一个类型同时是函数类型，又同时是结构体类型，那么根据上面的格，他是bottom类型，那么它也是布尔类型的子类型。即可以用作布尔类型。虽然这种情况在常规的编程语言中一开始不存在，但是随后他们可通过比如说C语言的union类型等方式加入了进来。Python这种动态类型的语言也存在这种情况。
为了解决这种情况有几种选择：
- coproduct of lattices，比如可以同时维护集合表示可能存在的bool类型，函数类型和结构体类型，如果内部的元素同时有子类型，则说明合并的类型也是子类型。
- a coproduct of posets or plain sets。这里简单地加入top和bottom就是直接整个类型集合看作一个元素，弄一个格结构。这样是不对的。
基本概念背景 - 余积（Coproduct）：在范畴论中，余积是范畴中的一种泛构造，是积（product）的对偶概念。对于不同的范畴（如集合、偏序集、格），余积的具体实现方式不同。 - 偏序集（Poset）：带有偏序关系（自反、反对称、传递）的集合。 - 格（Lattice）：一种特殊的偏序集，其中任意两个元素都有唯一的最小上界（并）和最大下界（交）。
Kleene 代数是正则表达式和有限自动机的代数